Gros exo de maths TERM S.. fonction ln =)

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Dii2ne   Gros exo de maths TERM S.. fonction ln =) 2 23/11/07 à 17:43

Enoncé:

"
Soit f la fonction définie sur [0;+oo[ par: f(x)= x^2 ( ln (x) - 1 ) ; si x différent de zéro et f(0)=0.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j) du plan (unité graphique: 2cm).

1) Démontrer que f est dérivable en 0 et déterminer f'(0). Que peut-on dire pour Cf?
2) Etudier la limite de f en +oo. (ça j'ai réussis en +oo la limite est +oo)
3) a) Justifier que f est dérivable sur ]0;+oo[ et déterminer la dérivée f' de f sur ]0;+oo[. (ça aussi j'ai réussis la dérivée ainsi que dire pourquoi f est dérivable; f'(x)= 2x ln (x/e) + x )
b) Etudier les variations de f sur [0;+oo[. (là j'arrive pas à résoudre l'inéquation 2x ln (x/e) + x plus grand que 0)
4) Dresser le tableau de variation de f sur [0;+oo[. (en ayant la question 3)b) c'est simple, mais je l'ai pas:p)
5) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses. (là on a x=0 ce qui est impossible et x=e).
6) Déterminer l'équation réduite y=t(x) de la tangente de Cf au point d'abscisse 1 / e^1/2 (racine carrée de exp quoi!).
7) L'objet de cette question est l'étude de la position relative de Cf et T. Pour cela, on considère la fonction g définie sur ]0;+oo[ par: g(x)= f(x) - t(x).
a) Justifier que g est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer g'(x) pour tout x appartenant à ]0;+oo[.
b) Justifier que g' est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer g''(x) pour tout x appartenant à ]0;+oo[.
c) Etudier les variations de g' sur ]0;+oo[, calculer g'(0)et en déduire le signe de g' sur ]0;+oo[.
d) Déduire de ce qui précède les variations de g sur ]0;+oo[ puis son signe (on pourra calculer g(1 / e^1/2 (racine carrée de exp quoi!))
e) Conclure.
Cool Tracer la courbe Cf et sa tangente T. (pas trop difficile)
"


Voilà j'espère pas avoir passer au moins 15minutes à tout écrire tout bien pour rien HELP me PLEASE =)
J'ai donc mis mes pistes sur les questions que j'ai réussi ou qu'à moitié à la fin de la question entre parenthèse =)
Merci d'avance =)
(k)

Gros exo de maths TERM S.. fonction ln =) 1/2 23/11/2007 à 17:54
1) calcule lim(quand xtend vers 0) de (f(x)-f(0))/f(0)
si ta fonction est dérivable en 0, alors lim(quand xtend vers 0) de (f(x)-f(0))/f(0) =f(0)
Cf est continue en 0

3b) Utilise le fait que e et ln sont des fonctions réciproques (eh oui je te laisse un peu chercher quand même)

Pour le reste je cherche dès que j'ai quelque chose je te le dis
Gros exo de maths TERM S.. fonction ln =) 2/2 23/11/2007 à 17:59
oui mais tu sais j'suis pas forte en maths.. faut m'expliquer longtemps.. et pour la 1) oui mais j'ai du mal pour détailler mes calculs:s
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