Maths Term S.. Logarithmes, démonstrations..

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Dii2ne Maths Term S.. Logarithmes, démonstrations.. 2 10/11/07 à 15:54

Voilà une activité avec tout plein de démonstrations.. tout ce que j'arrive pas :s

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On se propose de déterminer, si de telles fonctions existent, les fonctions f dérivables sur ]0;+oo[ telles que: pour tout réel x et tout réel y strictement positifs, f(xy)=f(x)+f(y).

On suppose qu'une telle fonction f existe.
a) Démontrer que si f est définie en 0, alors f est la fonction nulle.
b) Démontrer que, nécessairement, f(1)=0.
c) Soit y un réel strictement positif. On considère la fonction g définie sur ]0;+oo[ par: g(x)=f(xy)=f(x)+f(y)
Justifier que la fonction g est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer g'(x) de deux manières différentes.
d) En choisissant une valeur particulière de x, démontrer que: pour tout réel y strictement positif, f'(y)= f'(1) / y .
e) En déduire que la fonction f cherchée est la primitive sur ]0;+oo[ de la fonction x --> k / x où k=f'(1), qui s'annule en 1.
"


Voilà =S HELPP :s
Faire la biz

Floflo21 
Maths Term S.. Logarithmes, démonstrations.. 1/2 10/11/2007 à 16:59
a) Supposons f définie en 0.
Alors pour tout x€]0;+oo[, on a : f(0x) = f(0) + f(x), soit f(x) = 0.
De plus, f(0) = f(0*0) = 2*f(0) donc f(0) = 0.
Donc f est la fonction nulle sur [0;+oo[.

b) f(1) = f(1*1) = f(1) + f(1), donc 2*f(1) = f(1), donc f(1)=0.

c) g est dérivable sur ]0;+oo[ comme somme de fonctions dérivables sur ]0;+oo[ et car xy€]0;+oo[, x€]0;+oo[ et y€]0;+oo[.
Pour tout x€]0;+oo[, on a : g'(x) = (f(xy)-f(x)-f(y))' = yf'(xy) - f'(x) = y*k/(xy) - k/x = 0 (cf. dérivation de fonctions composées).

d) Pour tout y€]0;+oo[, on a : f'(x) = (f(xy)-f(y))' = y*f'(xy) (on dérive par rapport à x)
Prenant x=1, on a : pour tout y€]0;+oo[, f'(1) = y*f'(y), donc f'(y) = f'(1)/y.

e) D'après d), pour tout x€]0;+oo[, on a : f'(x) = f'(1)/y, donc f est la primitive sur ]0;+oo[ de la fonction x --> f'(1)/x, qui s'annule en 1 d'après b).

^.^""
Ancien membre 
Maths Term S.. Logarithmes, démonstrations.. 2/2 10/11/2007 à 17:13
Notation :
PT : pour tout
IE : il existe
(x,y) dans (IR+-{0})²

a) Posons x = y = 0

Si f est définie en zéro alors :

f(0) = f(0*...*0) = f(0) + f(0) +...+ f(0)
PT k dans IN, f(0) = k.f(0)
=> f(0) = 0

De plus :
f(x) = f(x) + f(0)
Donc par définition
f(x) + f(0) = f(x.0) = f(0) = 0

Conclusion PT x dans [0;+oo[, f(x) = 0

b)

f(1) = f(1*...*1) = f(1) + f(1) +...+ f(1)
PT k dans IN, f(1) = k.f(1)
=> f(1) = 0

c)

La somme de deux fonctions dérivable sur I est dérivable sur I donc j'ai est dérivable sur le même intervale que f soit ]0;+oo[.

Je te laisse faire la suite... (je la posterais plus tard si tu trouve pas, Edit : suis d'accord avec Floflo21^^).
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