TERM SPE MATHS, AIDE DM !

Merci beaucoup.
Ensuite j'ai un autre énoncé !
Dans une Term S, la taille moyenne des élèves est de 175.5 cm, la taille moyenne des filles est de 169 cm et celle des garçon est de 186.5 cm. Quel est l'effectif de la classe? (inférieur à 40)

J'ai fait (169x + 186.5y)/ (effectif total) = 175.5
Mais je ne sais pas comment le résoudre

Et puis passe la division de l'autre côté si tu peux ;)
Enfaite c'est totalement idiot ce que je viens de dire.
Si tu as trouvée une solution particulière plus de raison d'utiliser Gauss.
D'où ma prochaine question, c'est de la spé math ?

En voyant ça, je me dis que j'ai bien fait d'avoir fait spé PC...

(cf. Amstramgram, c'est la même chose en détaillé mais sur la copie son explication avec le début de la boucle suffit normalement)

On sait que 2011 est congru à 2 modulo 7 car 2011 = 7*287 + 2 = 2009 + 2 (le plus simple reste de tester avec la calculatrice)
Donc on a 2011^2012 congru à 2^2012 modulo 7 par propriété. (voir le cours)
Le but va donc être de montrer que 2^2012 est congru à 2 modulo 7 ! (autre propriété du cours sur le congruences)

Etudions les congruences modulo 7 des puissances de 2. C'est à dire les 2^k pour tout k naturel (0, 1, 2, 3,...).

Pour k=0, 2^0 congru à 1 modulo 7 car 2^0 = 1 = 7*0 + 1, donc le reste dans le division euclidienne de 1 par 7 est 1. (évident car 1 < 7)
Pour k = 1, 2^1 est congru à 2 modulo 7 car 2^1 = 2 = 7*0 + 2, donc le reste dans la division euclidienne de 2 par 7 est 2. (évident car 2 < 7)
Pour k = 2, 2^2 est congru à 4 modulo 7 car 2^2 = 4 = 7*0 + 4, donc le reste dans la division euclidienne de 4 par 7 est 4. (évident aussi car 4 < 7)
Pour k=3, 2^3 = 8 congru à 1 modulo 7 car 8 = 7*1 + 1, donc le reste est de 1 dans la division euclidienne de 8 par 7

On remarque que ca boucle et que cette boucle est de période 3, c'est à dire que l'on a pu effectuer 3 congruences différentes pour des puissances successives (qui se suivent) avant de retomber sur quelque chose de déjà vu.
Résumons pour mieux voir ce phénomène (le signe _ caractérisera la congruence oki ?) :
2^0 _ 1 [7]
2^1 _ 2 [7]
2^2 _ 4 [7]
2^3 _ 1 [7]

Après on pourrait se demander si ca continue réellement une fois que l'on a trouvé le premier terme qui revient. Pour ca le plus simple est de vérifier, même si normalement on sait que ca marche - au moins dans certains cas, je ne sais pas si c'est général et toujours vrai - pour 2 par le cours.
Ainsi on a :

2^4 = 16 congru à 2 modulo 7 (car 16 = 14 + 2 = 7*2 + 2, le reste est de 2 dans la division euclidienne de 16 par 7)
2^5 = 32 congru à 4 modulo 7 (car 7*4 = 28 et 32 = 28 + 4 = 7*4 + 4, les reste est de 4 dans la division euclidienne de 34 par 7)
2^6 = 64 congru à 1 modulo 7 (car 7*9 = 63 et 64 = 63 + 1 = 7*9 + 1, le reste est de 1 dans la division euclidienne de 64 par 7)

C'est-à-dire :
2^4 _ 2 [7]
2^5 _ 4 [7]
2^6 _ 1 [7]

On a donc de nouveau pu effectuer 3 congruences sur des puissances successives (3, 4, et 5) qui donne des congruences identiques à celles de la boucle précédente pour des positions dans la boucle identique et on retombe finalement sur le bon premier terme...
Finalement :
2^0 _ 1 [7]
2^1 _ 2 [7]
2^2 _ 4 [7]
2^3 _ 1 [7]
2^4 _ 2 [7]
2^5 _ 4 [7]
2^6 _ 1 [7]

On voit bien que ca boucle de cette manière !

"Bon, tout ca c'est très bien, mais on en fait quoi ? U.U "

On remarque que le premier terme de la boucle est congru à 1 et que la période est de 3.
Donc on aurait en continuant de trouver les termes comme avant :
2^0 = 2^(3*0) _ 1 [7]
2^3 = 2^(0+3) = 2^(3*1) _ 1 [7]
2^6 = 2^(0+3+3) = 2^(3*2) _ 1 [7]
2^9 = 2^(0+3+3+3) = 2^(3*3) _ 1 [7]
etc..
Autrement dit, comme la periode est de 3, pour obtenir une même congruence il suffit de rajouter +3 à la puissance de 2 précédente congru à la même chose.
On aurait par exemple de même en partant du deuxième terme de la boucle (2^1 _ 2 [7] ; 2^4 = 2^(1+3) _ 2 [7] ; 2^7 = 2^(1+3+3) _ 2 [7] ...), ou du troisième.
Comme cela se prolonge potentiellement à l'infini et que l'on remarque que sommer quelque chose un certain nombre N de fois revient tout simplement à multiplier ce nombre par N (2+2+2+2+2 = 10 = 5*2, on a sommer 5 "2" et cela revient au même que de multiplier 2 par 5), on peut obtenir une expression générale pour les différentes puissances de 2 modulo 7.
Ainsi on constate que pour tout "k" naturel on a :

2^3*k _ 1 [7]
2^(3*k + 1) _ 2 [7]
2^(3*k + 2) _ 4 [7]

Il suffit de tester pour les différentes valeurs de "k" dans les cas précédents pour remarquer que cela fonctionne bien. Sinon il suffit de partir de la première expression et de multiplier par 2 la congruence, car la multiplication fonctionne sur les congruences - mais pas la division, attention.
(Note : on pourrait faire une récurrence pour montrer ca)

"Et maintenant ? On a toujours pas répondu à la question ! "

Reprenons depuis le début :

2011^2012 _ 2^2012 [7] et on veut 2^2012 _ 2 [7].
On a aussi trouvé que les puissances de 2 congrues à 2 modulo 7 sont les 2^(3k+1) avec "k" un naturel.
Il faut donc montrer que 2012 est de la forme 3k+1, pour que 2^2012 et donc 2011^2012 soit congru à 2 modulo 7.
Pour ca il suffit de faire la division euclidienne de 2012 par 3 et de constater que le reste est de 1.
On a 2012 = 3*270 + 2 et 2 est le plus petit reste possible dans la division euclidienne de 2012 par 3. Or 2 est différent de 1. Donc 2012 est de la forme 3k+2 et non 3k+1. Or les 2^(3k+2) sont congrus à 4 modulo 7 et non à 2 comme on le souhaiterait.

"Bah mince ! On fait comment alors ? "

Et bien, on répond à la question : pour que 2^2012 soit congru à 2 modulo 7 il faut obligatoirement que 2012 soit de la forme 3k+1. Ce n'est pas le cas. Donc 2^2012 n'est pas congru à 2 modulo 7. Donc 2011^2012 _ 2^2012 [7] non plus.

Bref, tout ca se résume en un seul mot :
Non !



(ps: désolé pour les éventuelles erreurs)

Edit : On m'a doublé d'une heure à cause de mon pavé x)