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maths, toujours les maths !
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titi50   |
maths, toujours les maths ! | 7 | Ce jour à 17:53 |
voici le problème : la suite est définie sur N par
Uo=4
Un+1=(1/2)(Un+(9/Un))
Montrer par récurence que la suite est minorée par 3.
étudier le sens de variation de Un
montrer par récurence que Un-3
| maths, toujours les maths ! | 1/7 | 19/09/2007 à 18:26 |
U0 = 4 > 3 donc la propriété est vraie au rang 0.
On suppose maintenant la propriété vraie pour un n€N* fixé.
Soit f une fonction de [3;+oo[ dans R telle que pour tout x € [3;+oo[, f(x) = x + 9/x.
Alors f est dérivable sur [3;+oo[ et f'(x) = 1 - 9/x² > 0 pour tout x € [3;+oo[.
Donc f admet un minimum en 3 et f(3) = 6.
Ainsi, Un + (9/Un) > 6 car Un > 3 par hyposthèse de récurrence.
Donc Un+1 = (1/2)(Un+(9/Un)) > 3 et la propriété est vraie au rang n+1.
D'où la propriété est vraie pour tout n€N.
On suppose maintenant la propriété vraie pour un n€N* fixé.
Soit f une fonction de [3;+oo[ dans R telle que pour tout x € [3;+oo[, f(x) = x + 9/x.
Alors f est dérivable sur [3;+oo[ et f'(x) = 1 - 9/x² > 0 pour tout x € [3;+oo[.
Donc f admet un minimum en 3 et f(3) = 6.
Ainsi, Un + (9/Un) > 6 car Un > 3 par hyposthèse de récurrence.
Donc Un+1 = (1/2)(Un+(9/Un)) > 3 et la propriété est vraie au rang n+1.
D'où la propriété est vraie pour tout n€N.
| maths, toujours les maths ! | 2/7 | 19/09/2007 à 18:31 |
alors là bravo, on viens pas de la meme planète ^^ jai mis deux heures pour rien trouver alros que toi en 5 min bium c'est fait.
merci beaucoup je vais étudier ce que tu a fait il s'agit pas de recopier betement ^^.
et essayer de matteler a la suite
encore merci
| maths, toujours les maths ! | 3/7 | 20/09/2007 à 07:44 |
finalement j'aurai aussi besoin d'un coup de main pour la suite.
comment peut on étudier les variations de Un ?
Faut il transformer Un e f(x) ?
comment peut on étudier les variations de Un ?
Faut il transformer Un e f(x) ?
| maths, toujours les maths ! | 4/7 | 20/09/2007 à 11:39 |
Pour étudier les variations d'une suite, 2 méthodes simples :
*Regarder si pour tout n€N, (Un+1 - Un) est strictement positif, nul ou strictement négatif.
*Regarder si pour tout n€N, (Un+1 / Un) est strictement supérieur à 1, égal à 1 ou strictement inférieur à 1.
Ici la première méthode va bien marcher.
Pour tout n€N, Un+1=(1/2)*(Un+(9/Un))
Un+1 - Un = (1/2)*(Un+(9/Un)) - Un = (1/2)*(-Un+(9/Un)).
Or pour tout n€N Un > 3 d'après la première question, donc -Un < -3 et 9/Un < 3, d'où (1/2)*(-Un+(9/Un)) < 0.
Ainsi, pour tout n€N, Un+1 - Un < 0, donc Un+1 < Un : la suite (Un)n€N est décroissante.
Au passage, comme (Un)n€N est décroissante et minorée, elle converge (ici elle converge vers la limite finie 3).
^.^
*Regarder si pour tout n€N, (Un+1 - Un) est strictement positif, nul ou strictement négatif.
*Regarder si pour tout n€N, (Un+1 / Un) est strictement supérieur à 1, égal à 1 ou strictement inférieur à 1.
Ici la première méthode va bien marcher.
Pour tout n€N, Un+1=(1/2)*(Un+(9/Un))
Un+1 - Un = (1/2)*(Un+(9/Un)) - Un = (1/2)*(-Un+(9/Un)).
Or pour tout n€N Un > 3 d'après la première question, donc -Un < -3 et 9/Un < 3, d'où (1/2)*(-Un+(9/Un)) < 0.
Ainsi, pour tout n€N, Un+1 - Un < 0, donc Un+1 < Un : la suite (Un)n€N est décroissante.
Au passage, comme (Un)n€N est décroissante et minorée, elle converge (ici elle converge vers la limite finie 3).
^.^
| maths, toujours les maths ! | 5/7 | 20/09/2007 à 13:05 |
Floflo21 --> futur prof de maths ? ^^ 
| maths, toujours les maths ! | 6/7 | 20/09/2007 à 20:02 |
je viens de revenir du lycée et jai trouvé la réponse après 2 heures de perm !!
ton idée me conforte jai trouvé la meme chose comme quoi en perséverant on fini par y arriver
merci beaucoup
ton idée me conforte jai trouvé la meme chose comme quoi en perséverant on fini par y arriver
merci beaucoup
| maths, toujours les maths ! | 7/7 | 20/09/2007 à 22:26 |
NynyLaChance > Absolument pas ^^