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En fait, 1 = 0,999...(infini).
Quel âge avez-vous ?
Moins de 18 ans
18 ans ou plus
505   |
En fait, 1 = 0,999...(infini). | 101 | 02/03/10 à 17:55 |
Parce qu'on dit que 1 = 1.
Mais 1/3 = 0,333...(infini).
Donc 0,333...(infini)x3 = 0,999...(infini).
WTF ?
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 81/101 | 02/03/2010 à 19:02 |
1/3 =/= 0,333333333333333333333333333333333... semble être une réponse possible.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 82/101 | 02/03/2010 à 19:04 |
La quadrature du cercle semblait possible aussi..
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 83/101 | 02/03/2010 à 19:19 |
Pourquoi on te bourre le crane au collège avec 1/3 = 0,33333.......... ?
Parce que nombre de collégiens sont incapables de voir plus loin que l'écran de leur calculatrice.
Bon, je perdrai pas plus de temps à "débattre" de ce qui n'a aucune raison de l'être. Ouvrez un livre, ou réfléchissez un peu, de temps en temps, et ça devrait aller mieux.
Parce que nombre de collégiens sont incapables de voir plus loin que l'écran de leur calculatrice.
Bon, je perdrai pas plus de temps à "débattre" de ce qui n'a aucune raison de l'être. Ouvrez un livre, ou réfléchissez un peu, de temps en temps, et ça devrait aller mieux.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 84/101 | 02/03/2010 à 19:22 |
y'en a un qui se prend trop pour une star là 
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 85/101 | 02/03/2010 à 19:29 |
J'ai juste une question pour toi Aramis, ca m'intrigue : c'est quoi ton niveau en maths ?
Enfin, déjà, t'es en quelle classe, et qu'est-ce que tu fais à côté pour avoir le niveau que t'as en maths ?
Enfin, déjà, t'es en quelle classe, et qu'est-ce que tu fais à côté pour avoir le niveau que t'as en maths ?
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 86/101 | 02/03/2010 à 19:45 |
0,999...999...
= 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ...
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10)*(1 + 1/10 + 1/100 + ... + 1/(n-1)) (Or 1/10 est compris entre 0 et 1 )
= 9/10 * (1/(1-(1/10)))
= 9/10 * 10/9
= 1
C.Q.F.D.
= 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ...
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10)*(1 + 1/10 + 1/100 + ... + 1/(n-1)) (Or 1/10 est compris entre 0 et 1 )
= 9/10 * (1/(1-(1/10)))
= 9/10 * 10/9
= 1
C.Q.F.D.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 87/101 | 02/03/2010 à 19:47 |
Blue Ice a écrit :
0,999...999...
= 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ...
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10)*(1 + 1/10 + 1/100 + ... + 1/(n-1)) (Or 1/10 est compris entre 0 et 1 )
= 9/10 * (1/(1-(1/10)))
= 9/10 * 10/9
= 1
C.Q.F.D.
C'est une limite en l'infini. Pas le résultat exact. Seulement celui vers lequel on va tendre.
0,999...999...
= 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ...
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10)*(1 + 1/10 + 1/100 + ... + 1/(n-1)) (Or 1/10 est compris entre 0 et 1 )
= 9/10 * (1/(1-(1/10)))
= 9/10 * 10/9
= 1
C.Q.F.D.
C'est une limite en l'infini. Pas le résultat exact. Seulement celui vers lequel on va tendre.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 88/101 | 02/03/2010 à 19:52 |
Game Ovaire a écrit :
Blue Ice a écrit :
0,999...999...
= 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ...
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10)*(1 + 1/10 + 1/100 + ... + 1/(n-1)) (Or 1/10 est compris entre 0 et 1 )
= 9/10 * (1/(1-(1/10)))
= 9/10 * 10/9
= 1
C.Q.F.D.
C'est une limite en l'infini. Pas le résultat exact. Seulement celui vers lequel on va tendre.
Oh putain, un appui enfin.
Par contre, j'ai pas compris ce que sa démonstration te pose problème ?
Blue Ice a écrit :
0,999...999...
= 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ...
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
= lim (n tend vers plus l'infini) (9/10)*(1 + 1/10 + 1/100 + ... + 1/(n-1)) (Or 1/10 est compris entre 0 et 1 )
= 9/10 * (1/(1-(1/10)))
= 9/10 * 10/9
= 1
C.Q.F.D.
C'est une limite en l'infini. Pas le résultat exact. Seulement celui vers lequel on va tendre.
Oh putain, un appui enfin.
Par contre, j'ai pas compris ce que sa démonstration te pose problème ?
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 89/101 | 02/03/2010 à 19:55 |
Sa démonstration est juste.
Seulement le passage de la ligne 2 à la ligne 3 est pas très rigoureux.
9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ... = lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
Une somme égale à une limite, je suis pas fan.
Seulement le passage de la ligne 2 à la ligne 3 est pas très rigoureux.
9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ... = lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
Une somme égale à une limite, je suis pas fan.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 90/101 | 02/03/2010 à 19:56 |
Allez lire un livre, ca vous détendra.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 91/101 | 02/03/2010 à 19:57 |
Game Ovaire a écrit :
Sa démonstration est juste.
Seulement le passage de la ligne 2 à la ligne 3 est pas très rigoureux.
9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ... = lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
Une somme égale à une limite, je suis pas fan.
Mais la somme en question comporte un nombre infini de termes, donc la notion de limite ne pose aucun problème.
Sa démonstration est juste.
Seulement le passage de la ligne 2 à la ligne 3 est pas très rigoureux.
9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n) + ... = lim (n tend vers plus l'infini) (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/(10^n))
Une somme égale à une limite, je suis pas fan.
Mais la somme en question comporte un nombre infini de termes, donc la notion de limite ne pose aucun problème.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 92/101 | 02/03/2010 à 19:58 |
Ah 
Euh, c'est pas écrit terriblement, mais sur le forum, c'est pas vraiment facile de faire mieux xD
Euh, c'est pas écrit terriblement, mais sur le forum, c'est pas vraiment facile de faire mieux xD
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 93/101 | 02/03/2010 à 20:00 |
Si, les notions de limite en l'infini et de somme à l'infini ne sont pas strictement identiques.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 94/101 | 02/03/2010 à 20:02 |
Game Ovaire a écrit :
Si, les notions de limite en l'infini et de somme à l'infini ne sont pas strictement identiques.
Si, je sais pas si tu as déjà étudié ce que c'était qu'une série, mais en gros, quand tu considères une suite u(n), la série associée, c'est la somme des u(n).
Une série, c'est juste une suite particulière, et tu peux passer à la limite sans problème =).
Si, les notions de limite en l'infini et de somme à l'infini ne sont pas strictement identiques.
Si, je sais pas si tu as déjà étudié ce que c'était qu'une série, mais en gros, quand tu considères une suite u(n), la série associée, c'est la somme des u(n).
Une série, c'est juste une suite particulière, et tu peux passer à la limite sans problème =).
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 95/101 | 02/03/2010 à 20:34 |
Je compare cette égalité à une sorte de "courbe" qui tend vers une asymptote d'équation y=1.
En x=19238839, y=0,999999990
Et lorsque x -> +00, lim y = 1
Je comprends ça comme : lorsque x prend des valeurs importantes, f(x) se rapproche inéluctablement de 1, mais sans jamais l'atteindre, le principe de l'asymptote quoi.
L'arithmétique est, en ce sens, limité. La division euclidienne permet l'approximation dans ce cas.
En x=19238839, y=0,999999990
Et lorsque x -> +00, lim y = 1
Je comprends ça comme : lorsque x prend des valeurs importantes, f(x) se rapproche inéluctablement de 1, mais sans jamais l'atteindre, le principe de l'asymptote quoi.
L'arithmétique est, en ce sens, limité. La division euclidienne permet l'approximation dans ce cas.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 96/101 | 02/03/2010 à 20:41 |
Tiens, j'ai lu quelque chose sur un problème similaire en faisant des recherches sur le RSA (non, pas le truc pour les malchanceux, je parle de l'algo de chiffrement).
Source : Culturemaths.
"Un tiers" de Alain Siblot
Un élève de sixième m’a récemment demandé, à la fin d’un cours, si le nombre un tiers existait vraiment . Il est parti de l’idée que 0, 333 … * 3 = 0, 999 … et non pas 1.
Quels éléments puis-je lui apporter pour satisfaire sa curiosité ?"
Réponses :
""le DDI" par René Cori
C'est là un problème classique et important, sur lequel même les étudiants en mathématiques à l'université ont rarement les idées claires. Beaucoup d'entre eux répondent "non" à la question "est-ce que 0,999... est égal à 1 ?", sauf bien sûr après un cours ayant précisément traité de cela (mais de tels cours sont rares, hélas). Il y a à mon avis essentiellement deux façons d'aborder le sujet pour essayer de convaincre un interlocuteur, et les deux doivent être utilisées.
La première est d'expliquer que la différence 1 - 0,999... est nulle parce qu'elle est "plus petite que n'importe quel nombre strictement positif". Evidemment, pour un élève de sixième, c'est un peu délicat... On peut cependant essayer de lui dire que cette différence est inférieure à 0,1 , à 0,01 , à 0,001 , etc. et qu'on peut mettre autant de zéros qu'on veut. Il s'agit d'admettre que si 1 - 0,999... n'était pas nul, il y aurait forcément un nombre de la forme 0,0000000000...0000001 qui serait encore plus petit que cette différence, et que ceci ne se produit pas.
Deuxième explication : en posant a = 0,999..., multiplier par 10 puis retrancher a. On obtient 10a - a = 9,999... - 0,999... = 9, d'où 9a = 9 et a = 1. Bien entendu, cela suppose que toutes les opérations effectuées sont licites, ce qui pourrait être discuté, mais quelqu'un qui est convaincu que 0,333... multiplié par 3 donne 0,999... doit aussi admettre la validité des opérations effectuées ci-dessus.
Enfin, si on s'adresse à des étudiants qui savent ce que c'est qu'une série, on dispose d'une troisième approche qui doit achever de convaincre les plus récalcitrants (0,999... est la somme de la série géométrique dont le premier terme est 0,9 et dont la raison est 1/10). C'est l'occasion d'expliquer que tout nombre réel admet un développement décimal illimité (DDI), que ce développement est unique pour les réels qui ne sont pas décimaux, mais que les nombres décimaux ont tous DEUX développements : d'une part celui qui consiste à prendre l'écriture décimale elle-même et la prolonger par une infinité de zéros à droite (c'est le DDI PROPRE), et d'autre part celui qui consiste à retrancher 1 à la dernière décimale non nulle et à ajouter à droite une infinité de chiffres 9 (c'est le DDI IMPROPRE).
Je recommande vivement la lecture du livre de Daniel Perrin, "Mathématiques d'école", qui vient de sortir ces tous derniers jours chez Cassini, et où ces questions sont traitées. Le livre, excellent comme d'habitude avec Perrin, traite des mathématiques indispensables pour quelqu'un qui veut comprendre ce qui s'enseigne dès l'école élémentaire, c'est-à-dire essentiellement les nombres et la géométrie "élémentaire". Le livre est issu d'un cours que Perrin a fait pendant plusieurs années dans la licence pluridisiplinaire d'Orsay (licence destinée justement aux futurs professeurs d'école).
*************************************************
La preuve par le chocolat de Dominique Strazzabosco
On peut montrer à un enfant que 0.9999999.... c'est vraiment 1 en raisonnant sur des tablettes de chocolat.
Démonstration :
Chez un épicier chaque tablette de chocolat contient un bon. Pour 10 bons on obtient une tablette gratuite. Fortenmath achète une tablette de chocolat. Et il pense : j'ai une tablette, avec un bon qui vaut 1/10 de tablette, mais cette nouvelle tablette a aussi un bon qui vaut 1/10*1/10 de tablette, mais celle-ci a aussi un bon alors j'ai.....
Finalement il en déduit qu'il possède 1,1111111111111111111.... tablettes de chocolat. Il retourne chez l'épicier et achète 9 tablettes de chocolat (il possède en réalité alors 9,99999999999999 ...tablettes). Il retire les 9 bons des plaquettes et demande à l'épicier une tablette. Il retire le bon de cette tablette et ainsi il a 10 bons et NE PAIE PAS la 10ème tablette (qui n'a plus de bon...). Donc il a en réalité 10 tablettes. et donc 9,9999999999999.......=10 donc 1=0,9999999999999999999.....
Cf "jeux avec l'infini""
Vive les maths.
Source : Culturemaths.
"Un tiers" de Alain Siblot
Un élève de sixième m’a récemment demandé, à la fin d’un cours, si le nombre un tiers existait vraiment . Il est parti de l’idée que 0, 333 … * 3 = 0, 999 … et non pas 1.
Quels éléments puis-je lui apporter pour satisfaire sa curiosité ?"
Réponses :
""le DDI" par René Cori
C'est là un problème classique et important, sur lequel même les étudiants en mathématiques à l'université ont rarement les idées claires. Beaucoup d'entre eux répondent "non" à la question "est-ce que 0,999... est égal à 1 ?", sauf bien sûr après un cours ayant précisément traité de cela (mais de tels cours sont rares, hélas). Il y a à mon avis essentiellement deux façons d'aborder le sujet pour essayer de convaincre un interlocuteur, et les deux doivent être utilisées.
La première est d'expliquer que la différence 1 - 0,999... est nulle parce qu'elle est "plus petite que n'importe quel nombre strictement positif". Evidemment, pour un élève de sixième, c'est un peu délicat... On peut cependant essayer de lui dire que cette différence est inférieure à 0,1 , à 0,01 , à 0,001 , etc. et qu'on peut mettre autant de zéros qu'on veut. Il s'agit d'admettre que si 1 - 0,999... n'était pas nul, il y aurait forcément un nombre de la forme 0,0000000000...0000001 qui serait encore plus petit que cette différence, et que ceci ne se produit pas.
Deuxième explication : en posant a = 0,999..., multiplier par 10 puis retrancher a. On obtient 10a - a = 9,999... - 0,999... = 9, d'où 9a = 9 et a = 1. Bien entendu, cela suppose que toutes les opérations effectuées sont licites, ce qui pourrait être discuté, mais quelqu'un qui est convaincu que 0,333... multiplié par 3 donne 0,999... doit aussi admettre la validité des opérations effectuées ci-dessus.
Enfin, si on s'adresse à des étudiants qui savent ce que c'est qu'une série, on dispose d'une troisième approche qui doit achever de convaincre les plus récalcitrants (0,999... est la somme de la série géométrique dont le premier terme est 0,9 et dont la raison est 1/10). C'est l'occasion d'expliquer que tout nombre réel admet un développement décimal illimité (DDI), que ce développement est unique pour les réels qui ne sont pas décimaux, mais que les nombres décimaux ont tous DEUX développements : d'une part celui qui consiste à prendre l'écriture décimale elle-même et la prolonger par une infinité de zéros à droite (c'est le DDI PROPRE), et d'autre part celui qui consiste à retrancher 1 à la dernière décimale non nulle et à ajouter à droite une infinité de chiffres 9 (c'est le DDI IMPROPRE).
Je recommande vivement la lecture du livre de Daniel Perrin, "Mathématiques d'école", qui vient de sortir ces tous derniers jours chez Cassini, et où ces questions sont traitées. Le livre, excellent comme d'habitude avec Perrin, traite des mathématiques indispensables pour quelqu'un qui veut comprendre ce qui s'enseigne dès l'école élémentaire, c'est-à-dire essentiellement les nombres et la géométrie "élémentaire". Le livre est issu d'un cours que Perrin a fait pendant plusieurs années dans la licence pluridisiplinaire d'Orsay (licence destinée justement aux futurs professeurs d'école).
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La preuve par le chocolat de Dominique Strazzabosco
On peut montrer à un enfant que 0.9999999.... c'est vraiment 1 en raisonnant sur des tablettes de chocolat.
Démonstration :
Chez un épicier chaque tablette de chocolat contient un bon. Pour 10 bons on obtient une tablette gratuite. Fortenmath achète une tablette de chocolat. Et il pense : j'ai une tablette, avec un bon qui vaut 1/10 de tablette, mais cette nouvelle tablette a aussi un bon qui vaut 1/10*1/10 de tablette, mais celle-ci a aussi un bon alors j'ai.....
Finalement il en déduit qu'il possède 1,1111111111111111111.... tablettes de chocolat. Il retourne chez l'épicier et achète 9 tablettes de chocolat (il possède en réalité alors 9,99999999999999 ...tablettes). Il retire les 9 bons des plaquettes et demande à l'épicier une tablette. Il retire le bon de cette tablette et ainsi il a 10 bons et NE PAIE PAS la 10ème tablette (qui n'a plus de bon...). Donc il a en réalité 10 tablettes. et donc 9,9999999999999.......=10 donc 1=0,9999999999999999999.....
Cf "jeux avec l'infini""
Vive les maths.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 97/101 | 02/03/2010 à 21:06 |
C'que j'kiff, c'est cette manie de dire, chez les scientifiques, qu'un gramme de je sais pas quoi, c'est égal à une masse très faiblement différente. Mais si on raisonne comme ça sur plusieurs problèmes de suite, qu'ils soient réels ou non, y'a une accumulation qui va faire que la masse va devenir de plus en plus importante.
C'est un peu le problème du CO2 en c'moment et d'autres broutilles. Sans parler du syndrome classique des magasins, à savoir prendre n'importe quel produit sous prétexte qu'il n'y a que quelques centimes de différence, au final, ça fait quand même une belle différence. Même si on tient compte seulement de l'échelle du résultat et de la différence que cela représente, un dixième de pourcent par exemple, ça peut quand même être assez important.
Bref. C'était mon post inutile du jour.
C'est un peu le problème du CO2 en c'moment et d'autres broutilles. Sans parler du syndrome classique des magasins, à savoir prendre n'importe quel produit sous prétexte qu'il n'y a que quelques centimes de différence, au final, ça fait quand même une belle différence. Même si on tient compte seulement de l'échelle du résultat et de la différence que cela représente, un dixième de pourcent par exemple, ça peut quand même être assez important.
Bref. C'était mon post inutile du jour.
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 98/101 | 02/03/2010 à 22:55 |
J'vois pas à quoi sert de faire 1/3 en fait ..
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 99/101 | 02/03/2010 à 23:26 |
Comme dit plus haut c'est propre au Développement décimal.
Dire que 1/3 est le tier de 1 est vrai, mais si on le multiplie par trois la fraction devrait donner 1, tandis que multiplier 0,33333... par trois c'est 0,99999....
Dire que 1/3 est le tier de 1 est vrai, mais si on le multiplie par trois la fraction devrait donner 1, tandis que multiplier 0,33333... par trois c'est 0,99999....
| En fait, 1 = 0,999...(infini). | 100/101 | 02/03/2010 à 23:54 |
t'as 3 bonbons, t'en prends le tiers
et bien tu auras UN bonbon entier,
et non 0.333333...333 fois 3 bonbons
enfin si xD mais à l'infini
et bien tu auras UN bonbon entier,
et non 0.333333...333 fois 3 bonbons
enfin si xD mais à l'infini